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培养学生数学抽象核心素养的几种途径———以宁夏师范学院为例

  

 摘要:随着新课程标准的实施,中学生数学抽象素养培养研究成为了热点,而数学师范生抽象素养的培养也是实现中学生数学抽象培养的策略之一。以西部地方师院———宁夏师范学院为例,分析现阶段数学师范生在抽象素养方面所存在的问题。通过引导数学师范生对数学学习方法的再认识,及加强课程建设,改变课程内容、知识框架等方法来达到提高数学师范生抽象素养的目的。

关键词:抽象素养;师范生;学习方法;课程建设

一、数学抽象的内涵、特点与作用

(一)数学抽象的内涵数学学科是基础教育阶段最为重要的学科之一,史宁中认为高中阶段数学学科培养的终极目标可以总结为“三会”:会用数学的眼光观察世界;会用数学的思维思考世界;会用数学的语言表达世界。而数学的眼光就是数学抽象[1]。数学抽象是指舍弃事物的一切非数学属性(如物理属性、化学属性、生物属性、社会属性等),从数量与数量关系、图形与图形关系两方面抽象出数学概念及概念之间的联系,从事物与事物之间的联系、事物内部要素之间的联系中抽象出一般规律和结构,并用数学语言加以表征[2]。数学抽象的对象是蕴藏着数量特征或空间特征的事物。

(二)数学抽象的特点一是基础性。数学是物理、化学、生物学等学科的研究基础,而数学抽象只考虑事物或现象的数量关系和空间形式舍弃其它一切属性。所以,数学抽象具有一定的基础性。二是精确性。李昌官认为由抽象得到的数学概念在经过理想化处理后具有绝对精确的特点。但数学的绝对精确性和可靠性是以数学概念的理想化、以数学与现实相分离为前提的;当数学涉及现实时,它就不具有这种绝对精确性和可靠性[3]。

(三)数学抽象的作用作为数学能力的核心,数学抽象在数学核心素养中占据最重要地位,甚至可以说,数学抽象是数学核心素养的基础。由于数学具有抽象性和概括性的特点,学习者只有具备一定程度的抽象概括能力,才能对数学对象的认知实现质的飞跃。另一方面,数学的应用过程也对学习者的数学抽象素养有一定的要求[4]。在数学的应用活动中,要将实际问题数学化和抽象化,建立数学模型最终利用数学知识解决实际问题并将模型还原回实际情况。史宁中认为:数学发展所依赖的基本思想有三个:抽象、推理、模型,其中抽象是最为核心的。通过抽象,把外部世界与数学有关的东西抽象到数学内部,形成数学研究的对象;通过推理,得到数学的命题和计算方法,促进数学内部的发展;通过模型,创造出具有表现力的数学语言,构建了数学与外部世界的桥梁[5]。

二、师范生在培养数学抽象素养中所存在的问题

以宁夏师范学院的数学师范生为例,来说明师范生在培养数学抽象能力中所存在的问题。

(一)基础教育阶段在抽象能力培养中所存在的问题通过对宁夏师范学院数学专业16级、17级、18级的师范生问卷调查发现师范生对数学抽象的认识较为模糊,主要表现在数学抽象的内涵认识不清。问卷调查显示387.2%的学生不能够较完整的叙述数学抽象的含义,(18级学生占的比重较大);其次,对数学抽象在数学学习中的作用理解不到位:问卷调查显示56.23%的师范生只是知道从数量计算中抽象出公式,从事实存在抽象出定理,而不能上升到抽象→推理→模型的高度。造成这个现状的原因主要有以下几个方面:第一,生源地基础教育薄弱,在数学抽象的培养方面表现不佳。宁夏师范学院数学专业的师范生基本来自宁夏,而来自宁夏南部山区居多,少部分来自新疆。宁夏和新疆的基础教育在全国来说是较为薄弱:很多新的理念和教学内容、教学方法较为滞后,师资力量也无法与教育发达的地区相比较。尤其宁夏南部山区是贫困地区,生态环境恶劣、经济不发达,师资流失较为严重。这些直接导致教学硬件与师资力量的匮乏,不要说与发达地区相比较,就是与宁夏其他地区也不能比。在此背景下,基础教育阶段的数学抽象能力的培养被弱化了。第二,师范生对学习数学方法的认识上有一定的误区。现阶段无论是教育发达的地区还是相比较落后的地区,为了应对高考,从不同程度上都会在数学教学过程中看重“刷题”的环节———从大量的练习题中训练学生的做题速度、提高题目的辨识度,在第一时间又快又准确的拿下一道题。在此过程中学生只能被动的接受这些做题方法,没有深入的思考和探究,这完全与数学抽象能力的培养策略背道而驰。中学生在基础教育阶段已经形成数学的学习方法,等进入大学阶段的学习后,首先会利用之前学习数学的方法来学习后续的数学专业课程,学习方法的不得当直接影响数学抽象能力的提高。

(二)培养手段和方式、方法上的欠缺首先,除了师范生自身对数学抽象的理解有偏差外,师范生的专业课程建设与课程教授方法也是制约数学抽象能力提高的原因之一。数学抽象能力的培养是一个漫长的过程,需要有一个系统的方法和计划通过授课层层递进;数学专业师范生通过课程的学习,逐渐提升数学抽象能力,最终达到培养的目标。现阶段数学专业课程的内容以及知识体系与中学数学教学内容变革相比没有太大的改变,还在沿用之前的教学内容、知识框架。而之前的教学内容与知识框架是适合我国基础教育较早提出的“双基”(基础知识和基本技能)与三维目标(知识技能,过程方法和情感价值观),强调学生掌握一定的知识与解决问题的方法与技能。2017年新课标中提出的数学抽象能力等核心素养的培养,强调了学生掌握学习的方法,获得终身学习的能力,由此反映出师范生数学专业课程教学内容及知识框架的滞后以及数学专业师范生课程建设的必要性。其次,数学专业课程的授课方式也是制约师范生抽象能力培养的原因之一。中学数学课堂上有多变的教学手段与教学方法使得学生的抽象能力得到提高。利用学生已有知识和生活实例发现规律,探讨新知;以小组讨论等形式归纳、总结出结论;以课堂练习和课后复习等方法巩固新知。相比较中学数学课堂,高校师范生的数学专业课堂主要通过教师讲授知识,从而显得沉闷且单一。师范生与其他专业的学生有共同点:通过在高校的学习获得一定知识;师范生将来所从事的职业决定了其特殊性———从课堂上不仅仅获得知识还学习到教学的技能与方法。改变数学师范生专业课的教学方法、手段有利于师范生自身教学技能的提高,在今后的工作中能较快的适应中学的教学要求。

三、应对策略

(一)加强对专业基础课程的在再认识通过学习专业基础课程引导数学专业师范生对数学学习方法的重新认识,丢弃通过“刷题”学数学的想法,提升数学抽象能力。宁夏师范学院数学专业的师范生在第一学期都会开设《高等代数》、《解析几何》、《数学分析》三门专业基础课程,与中学数学通过实例与探究等方法得出结论相比,这三门课程更注重知识理论体系的完备性。每一个定理都是通过严谨的证明得出,每一个概念的产生也有其深刻的研究背景,所以通过学习这三门课程,可以使师范生开阔视野,站在更高的层面研究中学习数学知识。基于以上的原因,在讲授这些基础课的过程中,应让数学专业师范生了解数学问题的产生源于生活,同时也感知数学的严谨与抽象,对数学有一个新的认识,从而改变学习数学的方法。以下给出三门基础专业课程在授课过程中的几点建议:建议一:强化重要定理的证明过程。首先,定理的证明过程不仅仅是对定理正确性的一个理论说明,同时对所学知识点也有加深理解的作用。例如,高等代数中的多项式带余除法定理的证明过程就是求最大公因式的方法,还有数学分析中的罗必塔法则的证明过程也是不定式极限定值的求解过程。学习了证明过程,无论题目如何变化,都能从容应对,从而改变学生通过“刷题”学习数学的认识。其次,加强理论证明的学习是培养学生抽象思维、提高数学素养的过程。许多定理的证明过程中包含数学的一些思维模式,通过反复思考和琢磨定理的证明,就能逐步领悟这些思维模式里面蕴含的数学思想。在理解定理的证明过程中还能提高学生全面考虑问题的能力,避免看待数学问题的片面性,从一个侧面也培养了师范生的数学抽象能力。最后,通过强化重要定理的证明过程还能够弥补中学数学教材中对于理论推导方面不足所带来的缺憾。现阶段中学数学的教材所涉及证明环节较之前已经删节了不少,这是培养学生自主学习和应用知识的能力。建议二:利用课余时间,引导学生开阔眼界、拓展思维。根据宁夏师范学院的数学专业师范生在基础教育阶段的实际情况,为提高师范生数学抽象能力,开阔眼界、拓展思维势在必行;同时利用课余时间进行拓展活动,也解决了课堂时间紧、授课任务重的难题。首先,组织师范生在课余时间以小组形式阅读、查阅所学知识最新应用的相关文献资料,在此基础上讨论、总结学习心得。通过学习讨论后,一方面可以为今后的教学积累很多数学的应用实例,另一个重要方面就是从应用中去反思数学抽象的过程,从而提高师范生的抽象能力。其次,根据所学的内容组织师范生利用课余时间进行一个与中学数学内容对比性的研讨活动来拓展师范生的数学思维,如,中学阶段的多项式的定义与《高等代数》中所学的多项式定义形式上是一致的,从内涵上《高等代数》中的所定义的多项式更具有一般性,也就是说中学阶段的多项式是高等代数里面所定义的多项式的一种特殊情况。同时对比两个学习阶段中多项式的运算所研究的内容及方法来体会数学从特殊到一般、从具体到抽象的研究过程。经过一系列的对比研究师范生能够从新认识中学数学内容,开拓了数学思维,对于从具体到抽象有了更深入的理解,有利于提高师范生的数学抽象能力。

(二)加强课程建设,提高数学抽象能力

1.加强概念教学康文彦等认为在基础教育阶段提高抽象能力的一个重要举措就是注重概念教学,首先,让学生自学,对概念有一定的认识,然后再组织小组讨论陈述概念[4]。在大学阶段概念的教学仍然是培养数学抽象能力的重要方法,但由于授课对象以及培养目标发生了一些变化,所以大学与中学概念的教学方法应该有一定的区别。第一,由于数学专业课程中涉及的概念较多,所以在概念教学中应该注重相关概念的梳理,以方便理解和记忆。例如映射,代数运算,二元运算[6]这三个都是有关联的概念,最基本的概念是映射,代数运算是特殊的映射,二元运算又是特殊的代数运算。通过梳理这三个相关概念不仅可以帮助记忆概念内容更重要的是加深映射概念的理解,并且能够帮助理解后续教学中群的概念。第二,对于难以理解、重要的概念要层层递进式的讲解,帮助学生从表及里去理解概念。例如数列极限概念的讲解过程,不理解极限中N的存在性与ε的任意性,可以通过分层概念教学活动中由记忆抽象文字到通过具体例题理解再到抽象内容的反思,掌握定义,提高抽象能力。第三,加强概念的研究背景介绍,提高学生学习兴趣及学习效果,为知识的应用奠定一定的基础,同时通过了解从实际应用到抽象模型的过程中提高师范生的数学抽象能力。

2.适当调整改变教学内容与知识框架为以适应新课标中关于数学抽象能力培养的要求。第一,在中学数学研究等课程中应加强新课标中关于抽象素养的培养方面的分析解读,帮助数学师范生了解中学阶段数学学科的培养目标和方向。在涉及数学教学设计的课程中除了介绍经典的数学教学设计外,还要介绍现阶段中学课堂中最新的教学设计理念与模式,引导数学师范生反思数学抽象素养培养中如何进行教学设计,才能达到培养的目标。第二,在涉及数学课件以及各类教学软件的相关课程中关注基础教育阶段课件设计及各类软件的应用要求,授课的内容与培养目标做到与时俱进,适应基础教育阶段的变化。其次,多媒体的辅助教学也是提高数学抽象能力的手段之一,通过借助这些手段能拓展学生思维,帮助学生尽快掌握,例如,空间位置等难以想象的知识点,通过实景展示培养学生的抽象能力。所以在培训教学软件与课件设计的教学过程中,也应该培养师范生借助教辅设备、工具等开展课堂教学的意识和能力。第三,注重数学专业课程的建设,对于教学内容联系紧密、相辅相成的课程应该优化教学内容,构建“大课程”的框架,在同一知识体系下逐步体验一般到抽象的数学思维过程,培养师范生的抽象素养。例如《高等代数》与《近世代数》两门代数类课程概念的讲授过程中就可以遵循构建“大课程”框架的思想,体现具体到抽象的思维过程。这两门课程中有很多相关联的概念,如由方程组所引出的向量空间与线性空间、线性空间的加法与数量乘法和群定义中的代数运算等均是具体到抽象的关系,通过整体梳理此类关联知识点,打破不同课程授课内容各自独立的格局,讲授时注意具体到抽象思维过程的引导,启发师范生去思考若干相关概念中核心内涵,提高抽象的能力。

3.课堂教学方法组织形式多样化为了对师范生起到示范的作用。首先,打破从头到尾教师讲授师范生听的模式,师范生要真正参与到教学过程中来。与基础教育阶段不同的是大学阶段教学内容的深度与广度明显加强,如果还是沿用中学所使用的分组探究、得出结论的课堂组织模式是不适用的,应针对不同教学内容给出不同的教学方法与课堂组织形式。对于重难点的内容还是以教师讲授为主并且根据实际课堂教学效果,适当拓宽知识面发散思维,学生在接受知识的同时也提升了数学抽象能力。再次,对于知识应用性的教学内容,可以结合数学建模放手让学生进行探索,进而达到培养师范生抽象素养的目的。

[参考文献]

[1]史宁中.高中数学课程标准修订中的关键问题[J].数学教育学报,2018,27(1):8-10.

[2]史宁中,林玉慈,陶剑,郭民.关于高中数学教育中的数学核心素养———史宁中教授访谈之七[J].课程·教材·教法,2017,372(4):8-14.

[3]李昌官.数学抽象及其教学[J].数学教育学报,2017,26(4):61-64.

[4]康文彦,刘辉.培养学生数学抽象核心素养的几种途径[J].教育探索,2017(5):38-41.

[5]史宁中.漫谈数学的基本思想[J].数学教育学报,2011,20(4):8-11.

[6]张禾瑞.近世代数基础[M].北京:高等教育出版社,1978.

 

 

 

 

 

 

本文由江教育学院学报整理    

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